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タイゾウ塾 ~そのいち~

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今日は期待値の本来の意味、本当の計算の仕方を説明したいと思います

 

サイコロの出目の期待値

期待値とググると出てくる定義には
確率変数のすべての値に確率の重みをつけた加重平均である とあります

数字苦手な人は多分ここで既に『確率変数!?』っとなってしまうと思いますが、落ち着いてもう少しお付き合いください
数字が苦手な人にもなるべく伝わるよう頑張って書きましたので

確率変数ってのはそれだけ聞くと難しく感じますが、確率によって変わってくる数ってこと。そのまんまですw

サイコロなんかがそれです、まさに
確率によって出る目(値)が変わるじゃないですか

で、定義の続きに、すべての値に確率の重みをつけた加重平均とあります
確率の重みをつけるとは

サイコロの出目に対して確率を掛け合わせる行為
1が出る確率は1/6だから1×1/6=1/6
2が出る確率は1/6だから2×1/6=2/6

これが重みをつけるということで

加重平均ってのはそれらを足し合わせて平均値をとる行為
1/6+2/6+、、、って感じです

値×確率+値×確率+、、という作業を(全ての値に確率の重みをつけている)
全確率ぶん集めたものが期待値の本当の意味です

サイコロの出目の期待値出すとするなら

サイコロの出目の期待値=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=21/6=3.5
3.5と出ました。直感的にも3.5ってのはイメージできる人が多いと思うのですが

ちゃんと計算するならこのように
1(値)が出る確率+2(値)が出る確率+、、、と足し合わせ

全確率ぶん集まったとこで計算終わり。
1/6が6個ぶん集まったら合計1なので(1は100%と同じ)終わりということ

で、ここまではスロット打ってる人ならイメージしやすいと思うので

次の問題

 

80%ループの期待値の計算

80%ループの期待値は?

(ここから先ちょっと難しいですがゆっくり落ち着いて、少しでもわからなくなったら戻りましょう)

これ、暗記で答えだけ出せればいいなら下記ツイートの通りで良いのですが

 

それではただの丸暗記だし、期待値の定義通りの計算になっていない
単にこれで数字出るよってだけで、証明になっていないんですね

で、ちゃんと計算してみたいと思います

80%で継続するなら転落する確率は20%
それぞれを4/5 1/5 と分数にして

継続する確率4/5を pとし
転落する確率1/5を q(Qの小文字です)として(p+q=1であり、pかqしか起こらない。継続or転落しかない)
ループ抽選の期待値をXとします(これを出したいので、出したいものをXと置き換えている)

期待値の定義通りにサイコロの期待値を出したときのように
値×それが起きる確率、値×それが起きる確率、、、とイチから式を書いてみますと

X=1×q + 2×pq + 3×ppq + 4×pppq + 5×ppppq、、、、

最初の1×qってのが1セット目で終わる確率の部分です

理論上は4/5が永遠に継続し続ける可能性があり、0にはならないので式はこういう形でいったん締めます
なんだか気持ち悪い終わり方だと思うでしょうが、ここは我慢。最後にはスッキリします。

上の式の一部分を説明すると
ppqは p×p×q=4/5×4/5×1/5 つまり継続して継続して転落、の確率。それだと3セットだから
3×ppqになってます(3の部分が値であり、3セットであるという意味。値×確率になっている)

記号ばかりになったので上記の式を日本語に直してみますと

80%ループの期待値=
1セット×1セットで終わる確率(いきなり転落) + 2セット×2セットで終わる確率(継続して次で転落する確率)

といった感じでしょうか

数学の記号というのは
= は
+ 足す
× 掛ける

と全て日本語に直せるというか
元が日本語のものを記号にしただけ、と考えるのもイメージするのに良いかもしれません

式に戻ります

X=1×q + 2×pq + 3×ppq + 4×pppq + 5×ppppq、、、、

Xを知りたい。つまり右辺にあるpだのqだの、こいつら全部足したものを出したいワケですが
このままだと計算できないので式に工夫を加え、両辺にpを掛けますと

pX=1×pq + 2×ppq + 3×pppq + 4×ppppq + 5×pppppq、、、、(Aとします

となります。各項にpが1つずつ増えてますよね?
数学の=とは 同じ という意味です
同じものに均等にpずつ掛け算しただけなので
両辺は=のままです

大丈夫でしょうか?
ここイメージできること大事です。

で、もう少し、またXに対して加工します

Xは
1×q + 2×pq + 3×ppq + 4×pppq + 5×ppppq、、、ですが
 ↑
こいつ(q)が邪魔なので
今度は両辺からqずつ引いてみますと

X-q=2×pq + 3×ppq + 4×pppq +5×ppppq、、(Bとします
 ↑
左辺はqを引いたので-qがついてる  ↑右辺はqを引いたのでqが消えてる

この加工したX-q(式BpX(式Aの式を見比べてみると

2×pq + 3×ppq + 4×pppq + 5×ppppq、、、、(X-qの方)
↑      ↑
引けそうな気が、式が少し簡単になりそうな雰囲気出てませんか?
↓      ↓
1×pq + 2×ppq + 3×pppq + 4×ppppq、、、、(pXの方)

この形なら少し計算できそうですよね
上の式から下の式を引くと(X-qの方からpXの方を引く)

pq+ppq+pppq+ppppq、、、というものが残り
めんどくさそうだった数字が消えました。

つまり
(X-q)-pX=pq+ppq+pppq+ppppq、、、(右辺はpが一個ずつ増えていくだけの式)(式Cとします)

ということになります
ここまできたらあと少し。ここまで問題なければこの先も絶対に理解できます。この先の方が少し簡単なので。

 

で、今度は上の新しくできた式(C)両辺にまたpを掛けてみますと

p【(X-q)-pX】=ppq+pppq+ppppq+pppppq、、、(式D)
 ↑
左辺が難しくなってきましたが、今は左辺に対しては何も考えず
pがどこに掛かってるとかはスルーして右辺にだけ集中して下さい

再び上の式から下の式を引いてみると

pq+ppq+pppq+ppppq、、、、(X-q)-pX  式(C)

こいつだけ余るけど他は引き算で相殺されて全部消える

ppq+pppq+ppppq+pppppq、、、p【(X-q)-pX】 式(D)

最初のpq以外全部消えるんです

 

ここで、気持ち悪かった無限に続く式の、、、、の先なのですが
互いに1未満の少数×少数を繰り返しているので

終わり際は0に限りなく近づきます

電卓でちょっとやってみてもらえるとわかりやすいと思います

ループ率と転落率なので0.8×0.2 0.8×0.8×0.2、、と電卓叩いてみると

0に限りなく近くなりますよね?
いまいちピンと来ない人は、もっともっと掛け合わせてみてください

この場合、互いに相殺しながら0に限りなく近づいていくだけなので、片側の式に1項だけ余っても
式の終わりは実質的に0とすることができます

よって、残るのはpqだけとすることができるんです

この引き算で生まれた式が

(X-q)-pX-p【(X-q)-pX】=pq

となり、もうここまで辿り着けたら殆どゴールです!
この式を整理していきます

でかい【】を外して

(X-q)-pX-p(X-q)+ppX=pq

小さい()を外して

X-q-pX-pX+pq+ppX=pq

両辺からpqを引くことで両辺からpqが消えて

X-q-pX-pX+ppX=0

ここまで来れましたか?焦らずちょっと戻ってみるのもいいですし
ここでやってることは単なる中学数学なので、はいはいそうなるのねって読み飛ばしてもいいと思います
大事だったのはさっきの無限に続く部分が消えるトコだったので

では続きいきます

出したいもの、知りたいものはXなので

Xを左側に残そうと整理すると

ppX-2pX+X=q

因数分解すると

(p-1)(p-1)=q

p-1は-qであり(p+q=1だから)

-qの2乗はqqなので(下線部)

Xqq=q 

となって、両辺qqで割ると

X=q/qq

右辺が整理されて

X=1/q

qってのは転落率でしたよね

だからX=1/qを日本語にしてみると

X(80%ループの期待値)=1/転落率

下線部、÷転落率ってのは分数である転落率の逆数を取るということなので

転落率が1/5ならそれを割ったら5/1で5連

ツイートした公式の通りになります

これは非常に簡単な部類の計算なのですが、この考え方を元に計算すればこんなのも出せます

 

沖ドキなど毎ゲーム均等抽選かつ、天井込みのものでの
天井までに当たる平均ゲーム数です(導出は省きます。かなり複雑なので)
これがわかれば平均所要時間も出せるので立ち回りの目安になります

沖ドキ、数字どうでしょうか?
思ってたよりも当たるの早く感じませんか?

最悪でも250で当たってくれる中での1/250の抽選ってこんな早くなるんです

平均158プレイって

当てるまでに平均11分ってことですからね

沖ドキのハイエナは時間効率抜群です

 

それでは長々とお付き合いありがとうございました

もし参考になった、面白かった、と思っていただけた方は

是非フォローよろしくお願いします!

 

このコラムを書いた人

タイゾウ
Twitter:@GG56513 

確率、統計とギャンブル独特の読み合いの融合が生涯テーマ。
4号機時代から20年、収支より技術を磨くことに拘ってスロ漫画モデル経験も有り。
評判のバジ絆配信の他にもコアな考察なら過去ツイやノートを。
どこにもないエッセンス書いてます。
kof98ヘビィDの人。投資家。超愛犬家。ホ○キャラはネタで既婚者。2018/7/11より活動

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